Sejarah Teori Peluang

Teori Peluang adalah sebuah ilmu matematika yang dipopulerkan oleh Blaise Pascal dan dikembangkan oleh Pierre de Fermat pada abad ke 17. Banyak sekali bidang kehidupan sehari-hari yang tidak bisa lepas dari teori peluang.

Blaise Pascal dan Fermat
  ….Blaise Pascal           dan         Pierre de Fermat

Cerita lahirnya teori peluang dimulai ketika di tahun 1654 seorang penggemar matematika bernama Chevalier de Mere bertemu dengan Blaise Pascal dalam sebuah perjalanan. De Mere menanyakan banyak persoalan matematika kepada Pascal hingga sebuah pertanyaan yang akhirnya dibutuhkan waktu sekitar dua tahun untuk Pascal menjawabnya. Pertanyaannya yang diajukan Chevalier de Mere adalah:

Dua orang dalam permainan lempar koin memperebutkan 100 Franc dimana pemenangnya adalah orang yang berhasil memenangkan 7 kali permainan.
Jika karena suatu hal, permainan berhenti ketika pemain pertama telah menang 5 kali, dan pemain kedua telah menang sebanyak 4 kali, bagaimana cara paling adil dalam membagi hadiahnya?

teka-teki de Mere

Pertanyaan de Mere sendiri sebenarnya adalah pertanyaan yang sudah sering dicoba untuk dijawab oleh banyak ahli matematika seperti oleh Luca Pacioli pada tahun 1694 dan Nicolo Tartaglia pada abad ke 16. Namun jawaban kedua orang ahli matematika tersebut dianggap belum memuaskan.

Untuk menjawab persoalan tersebut, Pascal meminta salah satu rekannya, Pierre de Fermat, untuk ikut membantu menyelesaikan masalah tersebut.

Fermat menjawab sebagai berikut :

Salam kasih untukmu, Blaise,
Sehubungan dengan masalah bagaimana membagi uang hadiah, aku kira aku telah menemukan solusi yang adil bagi keduanya. Mari kita melihat kondisi saat permainan terpaksa berhenti, aku (Fermat) hanya membutuhkan dua poin lagi untuk memenangkan pertandingan, sedangkan dirimu sendiri (Pascal) membutuhkan tiga poin lagi. Aku rasa kita dapat menetapkan bahwa permainan akan berakhir dalam 4 putaran (lemparan koin) lagi. Dalam 4 lemparan koin tersebut, jika kau belum mendapatkan 3 poin untuk membawamu kepada kemenangan, berarti aku telah mendapatkan 2 poin yang aku butuhkan untuk membawaku kepada kemenangan. Dan dengan kata lain, dalam 4 lemparan koin tersebut jika aku belum mendapatkan 2 poin untuk menang, berarti kau telah mendapatkan 3 poin yang dibutuhkan.

Berikut ini aku tuliskan kemungkinan hasil yang akan keluar dalam sisa empat lemparan koin, aku tulis M untuk Muka dan B untuk Belakang. Tanda bintang menyatakan kalau aku yang memenangkan permainan.

M M M M * M M M B * M M B M * M M B B *
M B M M * M B M B * M B B M * M B B B
B M M M * B M M B * B M B M * B M B B
B B M M * B B M B B B B M B B B B

Aku pikir kau pun setuju bahwa itu semua adalah hasil yang mungkin akan keluar dalam 4 lemparan tersisa.
Jadi aku pikir kita harus membagi uang 100 Franc tersebut dengan rasio 11:5 (Fermat:Pascal). Dan oleh karenanya, aku berhak mendapatkan (11/16) x 100 Franc  = 68,75 Franc, dan kau berhak mendapatkan (5/16) x 100 Franc = 31,25 Franc.

Semoga semua baik-baik saja di Paris,

Teman dan rekanmu,

Pierre

Surat jawaban dari Fermat sangat memuaskan namun Blaise Pascal merasa cara manual Fermat dalam menghitung semua kemungkinan hasil lemparan koin sebanyak 4 kali sangat membosankan dan akan memakan banyak waktu. Oleh karenanya Pascal mencari solusi dan menemukan cara sederhana dalam menghitung besar kemungkinan.

Dear Pierre,

Terinspirasi dengan surat yang telah kau kirimkan, aku mempunyai pemikiran lain terhadap masalah ini. Aku menyadari bahwa ternyata, secara kebetulan, permasalahan yang kita hadapi menggunakan cukup banyak kemungkinan hasil. Metodemu untuk menuliskan semua kemungkinan hasil yang akan keluar akan menjadi sangat merepotkan. Oleh karena itu, aku mencoba untuk menyederhanakan permasalahan ini dan aku percaya aku telah menemukan solusi yang memuaskan.

Mari kita lihat lagi masalah yang kita punya. Aku akan menyederhanakannya, dan menghitung dari sisimu (Fermat). Hasil yang keluar nantinya dengan 2 atau lebih Muka (M) yang akan membawamu kepada kemenangan. Jumlah kemungkinan hasil yang keluar yang akan membawamu kepada kemenangan adalah sama dengan sejumlah cara untuk memilih 2 objek dari 4 ditambah sejumlah cara untuk memilih 3 dari 4 ditambah sejumlah cara untuk memilih 4 dari 4. Untuk mempersingkat kata, mari kita tulis sejumlah cara untuk memilih objek r dari n dengan nCr. Maka, kalimat di atas akan dapat ditulis dengan 4C2 + 4C3 + 4C4.

Perhitungan ini juga akan menyita waktu dan membosankan, maka dari itu aku telah membuat suatu segitiga, yang aku namakan Segitiga Pascal untuk membantu dalam melakukan perhitungan ini.

segitiga pascal

Katakanlah ada 2 pemain yang sedang bermain, di mana Pemain A membutuhkan n poin untuk menang sedangkan Pemain B membutuhkan m poin untuk menang. Untuk menghitung berapa uang harus dibagi, maka kita akan melihat ke dalam Segitiga Pascal pada baris ke (n+m). Untuk Pemain A (yang membutuhkan n poin untuk menang), jumlahkan isi dari Segitiga Pascal pada baris ke (n+m) tersebut sampai pada entri ke-m. Sedangkan untuk Pemain B (yang membutuhkan m poin untuk menang), jumlahkan sisa dari Segitiga Pascal pada baris ke (n+m) tersebut.
Maka, pada cerita kita, akan menjadi seperti berikut. Aku (Pascal) membutuhkan 3 poin lagi untuk menang (n = 3), sedangkan kau (Fermat) membutuhkan 2 poin lagi (m = 2). Oleh karena itu, kita harus melihat Segitiga Pascal pada baris ke (n+3) atau baris ke-5, yang berisi angka 1 4 6 4 1. Untuk menghitung berapa uang yang aku dapat, maka harus dilihat Segitiga Pascal pada baris ke-5 dan menjumlahkan sampai entri ke-2 (m = 2), yakni 1 + 4 = 5. Sedangkan untuk menghitung berapa uang yang kau dapat, lihat Segitiga Pascal pada baris ke-5 dan jumlahkan sisanya, yakni 6 + 4 + 1 = 11. Maka, hasilnya akan menjadi sebagai berikut:

Uang yang didapatkan Pascal adalah 31,25 France yang didapatkan dengan rumus :

Peluang Pascal


Uang yang didapatkan Fermat adalah 68,75 Franc yang didapatkan dengan rumus :

Peluang Fermat

Aku berdoa atas kesembuhan temanmu dan berharap semuanya baik bagimu.

Temanmu,
Blaise

Jika kamu tidak mengerti penjelasan Fermet dan Pascal di atas, maka singkatnya seperti ini :

Jika Aku butuh 2 kali kemenangan lagi untuk membawa hadiah
dan Kamu hanya butuh 1 kali lagi saja kemenangan untuk membawa hadiah

Maka kemungkinan peluang menang menurut cara manual Fermet adalah :
A A A = A                    A A K = A                     A K K = K                      K A A = K
K K A = K                    K K K = K                     A K A = K                      K A K = K

Dari hasil manual Fermet diketahui kesempatan aku (A) untuk menang adalah 2 dari 8 atau 1/4
Dan kesempatan kamu (K) untuk menang adalah 6 dari 8 atau 3/4

Jika menggunakan cara menurut Segitiga Pascal :

Aku butuh 2 kemenangan, dan kamu butuh 1 kemenangan, maka  (2+1) = 3
baris ke 3 dalam segitiga pascal adalah 1-2-1 (lihat segitiga pascal)

Karena lawanku butuh 1 kemenangan maka rumus kemungkinanku menang adalah :
(1 angka pertama dalam baris ke 3 segitiga pascal)  / (jumlah angka dalam baris ke 3) = …
1 / (1+2+1) = ¼

Karena lawanmu butuh 2 kemenangan maka rumus kemungkinanmu menang adalah :
(jumlah 2 angka pertama dalam baris ke 3 segitiga pascal  / (jumlah angka dalam baris ke 3)
(1+2) / (1+2+1) = 3/4

Teori peluang dan Segitiga Pascal ini  akhirnya dikenal di seluruh dunia dan menjadi metode hitung yang mampu memegang peran penting dalam perkembangan berbagai cabang ilmu seperti fisika, sosial, ekonomi, psikologi, statistika, dan berbagai cabang ilmu lainnya. Demikianlah sejarah teori peluang menjadi sebuah bidang ilmu terapan paling populer di era modern ini.

Kalian juga dapat menyimak materi belajar yang membahas tentang Ruang Sampel, Peluang, dan Frekuensi Harapan dari Primaindisoft.

Komentar